Vývoj automobilu, který měl nahradit typ T 600, byl vyvíjen tajně. Tatra totiž již neměla vyrábět osobní vozy. Přesto vývoj probíhal, kvůli utajení v kancelářích pražské továrny Tatra, kde se výkresy schovávaly pod výkresy trolejbusů Tatra. V roce 1954 se podařilo přemluvit vládu, aby schválila vývoj vozu a jeho výkresy putovaly do Kopřivnice, kde byl vůz prodloužen a dokončen. Příprava prototypů probíhala pomalu a ani náběh sériové výroby v roce 1956 nebyl plynulý. Nedařilo se držet plánu na výrobu vozů, rok od roku však výroba rostla. První varianta vozu měla tři kulaté světlomety v přední části vozu.

Od roku 1959 byla Tatra 603 také nabízena v síti prodejen Mototechna k volnému prodeji. Cena byla tehdy 98 000 Kčs, GAZ M-21 Volha stála 55 000 Kčs a Škoda Octavia Super byla za 32 850 Kčs.

V roce 1962 prošla Tatra 603 modernizací na typ T 2-603, dostala 4 kulatá světla vpředu a jiné řešení zadních světel a blatníků s nárazníky. Změnou prošel také interiér s novým sdruženým ukazatelem a obložením. Výroba byla zahájena v prosinci 1963, do té doby se vyráběla první verze, v celkovém počtu 5992 vozů. Motor nové verze měl výkon 105 k a dvě trubky výfuku. Postupně se měnily jednotlivé detaily uvnitř i venku, za příplatek byla možná montáž opěrek hlavy vpředu i vzadu a bezpečnostní pásy vpředu. Nový byl také podtlakový posilovač bubnových brzd ATE.

V roce 1968 již byly přední bezpečnostní pásy standardní výbavou a vůz byl přetypován na pětimístný. /pravou prošly nárazníky, světlomety a další prvky. Také se objevil další typ posilovače brzd a od roku 1970 byly na všech kolech kotoučové brzdy. Počátkem září 1973 dostal vůz jako první vyráběný v Československu, bezkontaktní elektronické zapalování PAL-Magneton. V létě 1974 byla výroba převedena do Příboru, kde se vyráběly současně s typem Tatra 613 do srpna 1975. Celkem se vyrobilo 20 422 vozů, z toho 3 tisíce se exportovaly do NDR, z toho třetina se třemi světly. V první polovině 70. let byla cena nové Tatry 603 v Mototechně 195 000 Kčs, za stejné peníze bylo možné koupit 3 vozy Škoda 110 LS.